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最近和一位某小学的数学黄老师讨论最大公约数和最小公倍数，也看了一下对方发来的数学书照片，感觉有几个问题可以说一说。提前说明的是，这里完全以小学数学书里讲的“短除法”为出发点，不涉及“辗转相除法”等内容。
一、用什么例子为好？
对方发来的数学书照片，用的是12和18这两个数，显然不够好：因为这样学生难以判断将来计算的时候用的是侧面的2和3，还是下面的2和3（这里“侧面”指的是短除法提取出来的公约数，“下面”指的是最后各自剩下的因数，下同）。
我开始向那位小学老师建议用30和42，后来再一思索，感觉用24和30更好：
为什么？因为这样一来，不但侧面和底面的数完全不同，容易区别，而且这里底下有一个合数4，这就区分开了“分解质因数”和“求最大公约数最小公倍数”在分解方面的要求：分解质因数要求是分到不能再分为止，最后要求剩下的是质数，但求最大公约数最小公倍数要求最后两个数没有公约数即可，至于剩下的是不是质数，是没有关系的。当然具体到这里的例子最大公约数，是最后剩下的有且只有一个质数。
二、算理是什么？
为什么短除法可以计算最大公约数和最小公倍数？这是个好问题。下面仍以24和30为例，按照短除法的计算方法，显然2和3都是公约数，但最大的呢？当然应该是这两个的乘积，你不可能再往里面添加其它的质因数了，比如你还想再添加个2，这个新的2只是24下面那个4里的因数，不是30下面那个5的因数了。或者可以这样说：
因为24=(2×3)×4，30=(2×3)×5，
所以公共的质数约数只有一个2和一个3，最大公约数是(2×3)。
那么，最小公倍数呢？特别是这位老师问我：为什么侧面的那两个数只需要乘一遍？TA是想说，既然2和3同时是两个数的因数，为什么不能乘两次？（因为类比于底部的数4和5，都只是一个数的约数，乘一遍没有问题，但两个数的公约数，为什么乘一遍）
我的回答是，首先你要承认(2×3)×4×5确实是公倍数，但对方表示不能直接确定，需要进一步计算。我再次解释说：你看这里既有(2×3)×4，也有(2×3)×5，前者是24后者是30，那(2×3)×4×5肯定是前者和后者公共的倍数啊，对不对？对方终于承认我说的有道理。
接下来我问，(2×3)×4×5既然是公倍数，如果再乘个2、3（短除法侧面的数）或者其它大于1的正整数，是不是会变得更大？对方回答说这是肯定的。我想读者也会认可的。
最后最大公约数，(2×3)×4×5一共是４个数，去掉一个可以吗？或者把其中一个换成比较小的数可以吗？显然不行。
结论：(2×3)×4×5是公倍数里最小的，即最小公倍数。
三、三个数或者更多数的最大公约数和最小公倍数怎么算？
当然可以算，但是和前面只有两个数的计算有点区别。我们看怎么算24、30和36的最大公约数和最小公倍数。先看最大公约数：
求最大公约数，要分解到这几个数没有共同的公约数为止，最大公约数是(2×3)=6。
但是求最小公倍数不一样，是按照下面的式子计算的，注意侧面有3个质因数，但是中间那个最后一次没有除以2。
计算最小公倍数一定要分解到任意两个之间都没有公约数，最小公倍数是(2×3×２)×2×5×3=360。
为什么有这个区别呢？因为我们在算最小公倍数的时候，公共的约数只能计算1次，你如果没有最后这一步，那么剩下4、5、6这三个数，而4和6还有公约数2，所以乘得的结果就大了，就不是“最小”公倍数了：(2×3)×4×5×6=720。
四、用韦恩图（圆圈图）表示
以上是两个数的例子，注意中间的是公共的因子。
以上是三个数的示意图，注意中间蓝色部分是三个数的公共因子，黄色部分是两个数的公共因子。我希望这两个图能帮助大家理解。
通过几次和小学老师的交流发现，很多时候小学老师困惑的是一些非常琐碎的问题，比如求最小公倍数的时候，如果下面有个1，是不是还需要在最后的乘法式子里写出来？或者如果开始的时候两个数就是互质的，需要侧面写1吗？我想，如果个别老师有这样的困惑可能是老师自身问题，如果大多数老师“说不清楚”，那就是教师培训的问题了，应该有人关注老师们这些具体的困惑，给出一个统一而且合理的解答。
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