拓扑排序的简介及实现

【前言】拓扑排序的英文名是，它要解决的问题是给一个图的所有节点排序。今天让我们一起来详细学习下它吧。

一、什么是拓扑排序

在图论中，拓扑排序（）是一个有向无环图（DAG, Graph）的所有顶点的线性序列。

且该序列必须满足下面两个条件：

有向无环图（DAG）才有拓扑排序，非DAG图没有拓扑排序一说。

例如，下面这个图：

拓扑排序排课_拓扑排序_拓扑排序序列

它是一个 DAG 图，那么如何写出它的拓扑排序呢？这里说一种比较常用的方法：

从 DAG 图中选择一个没有前驱（即入度为0）的顶点并输出。

从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。

重复 1 和 2 直到当前的 DAG 图为空或当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况说明有向图中必然存在环。

拓扑排序_拓扑排序序列_拓扑排序排课

于是，得到拓扑排序后的结果是 { 1, 2, 4, 3, 5 }。

通常，一个有向无环图可以有一个或多个拓扑排序序列。

二、拓扑排序的应用

拓扑排序通常用来“排序”具有依赖关系的任务。

比如，如果用一个DAG图来表示一个工程，其中每个顶点表示工程中的一个任务拓扑排序，用有向边表示在做任务 B 之前必须先完成任务 A。

故在这个工程中，任意两个任务要么具有确定的先后关系，要么是没有关系拓扑排序，绝对不存在互相矛盾的关系（即环路）。

三、拓扑排序的实现

根据上面讲的方法，我们关键是要维护一个入度为0的顶点的集合。

图的存储方式有两种：邻接矩阵和邻接表。这里我们采用邻接表来存储图，C++代码如下：

#include#include #include using namespace std;
/************************类声明************************/class Graph{    int V;             // 顶点个数    list<int> *adj;    // 邻接表    queue<int> q;      // 维护一个入度为0的顶点的集合    int* indegree;     // 记录每个顶点的入度public:    Graph(int V);                   // 构造函数    ~Graph();                       // 析构函数    void addEdge(int v, int w);     // 添加边    bool topological_sort();        // 拓扑排序};
/************************类定义************************/Graph::Graph(int V){    this->V = V;    adj = new list<int>[V];
    indegree = new int[V];  // 入度全部初始化为0    for(int i=0; i<V; ++i)        indegree[i] = 0;}
Graph::~Graph(){    delete [] adj;    delete [] indegree;}
void Graph::addEdge(int v, int w){    adj[v].push_back(w);     ++indegree[w];}
bool Graph::topological_sort(){    for(int i=0; i<V; ++i)        if(indegree[i] == 0)            q.push(i);         // 将所有入度为0的顶点入队
    int count = 0;             // 计数，记录当前已经输出的顶点数     while(!q.empty())    {        int v = q.front();      // 从队列中取出一个顶点        q.pop();
        cout << v << " ";      // 输出该顶点        ++count;        // 将所有v指向的顶点的入度减1，并将入度减为0的顶点入栈        list<int>::iterator beg = adj[v].begin();        for( ; beg!=adj[v].end(); ++beg)            if(!(--indegree[*beg]))                q.push(*beg);   // 若入度为0，则入栈    }
    if(count < V)        return false;           // 没有输出全部顶点，有向图中有回路    else        return true;            // 拓扑排序成功}

测试如下DAG图：

拓扑排序排课_拓扑排序序列_拓扑排序

int main(){    Graph g(6);   // 创建图    g.addEdge(5, 2);    g.addEdge(5, 0);    g.addEdge(4, 0);    g.addEdge(4, 1);    g.addEdge(2, 3);    g.addEdge(3, 1);        g.topological_sort();    return 0;}