数哲之思
笛卡尔篇（上）
数院×哲院
勒内·笛卡尔是法国哲学家、数学家和科学家，他对现代数学的发展作出了重要的贡献，将几何和代数相结合，创立了“解析几何学”。他也是西方现代哲学思想的奠基人之一，是近代唯心论的开拓者，提出了“普遍怀疑”的主张。
这个春天，复旦大学数学学院将携手复旦大学哲学学院笛卡尔坐标系，分别从数学和哲学的角度，探索笛卡尔的数学巧思与哲学理念，并尝试寻找这两门最古老的学问的共通点与统一性。
笛卡尔的数学巧思
笛卡尔坐标系
代数通常来说是研究数、关系、结构的数学分支，而几何的研究对象则是位置与图形，在坐标这个概念产生以前，代数与几何的研究犹如两座高山被万丈深渊分割。而笛卡尔创立的坐标系巧妙地构建起代数与几何的桥梁，相对位置、图形的大小与形状都可以被两点之间的距离所决定，反之，两点之间的距离亦可以决定图形的大小与形状。
相传，笛卡尔在蜘蛛的启迪下诞生了坐标系的奇思妙想，建立起原点、坐标轴、坐标的相关概念，构建起几何直观与代数抽象之间的联系，将“形”与“数”结合在一起。开创了解析几何学派。笛卡尔坐标系又称直角坐标系，在后人的发展下，又建立起球面坐标系、柱面坐标系、极坐标等实用的坐标系。代数与几何相结合的思想也延续至今，利用抽象代数、交换代数、同调代数研究代数曲线、代数曲面等几何对象的思想形成了代数几何学派。
空间直角坐标系
球面坐标系
自直角坐标系创立之起，笛卡尔便启蒙“变量”的概念，几何图形的延伸可以看作坐标的变化，即横纵坐标的变化趋势。笛卡尔将图形的刻画转化为纵坐标关于横坐标的变化关系，通过代数的方程式来描绘直线、曲线、圆、椭圆的性质，为后世“函数”的诞生奠定基础。
回顾高中时期的立体几何与解析几何，便是笛卡尔坐标系的衍生产物，空间立体图形，便是三维坐标构成的集合，椭圆、双曲线等二次曲线与二元二次方程无异。
欧拉-笛卡尔公式
欧拉公式最早是瑞士数学家欧拉于1750年公布的，但后人通过研究笛卡尔的《秘密手记》笛卡尔坐标系，发现早在1635年左右，笛卡尔就已经推导出来这个被称为“欧拉公式”的几何学公式，因此现称为欧拉-笛卡尔公式。这个公式后续衍生出欧拉示性数的概念，给出了曲面的同胚不变量。欧拉-笛卡尔公式表述如下：在任意凸多面体，设V为顶点数，E为棱数，F是面数，则V - E + F ＝ 2。
来看看大十二面体有几个面，几条棱，几个顶点吧，它满足欧拉-笛卡尔公式吗？
大十二面体
笛卡尔心形线
结语
笛卡尔的数学贡献值得后世铭记，解析几何的建构推动了数学史的发展，变量的思想为微积分的创立奠定基础。笛卡尔是统一代数与几何的数学家，但与此同时他亦是一位“理性主义”哲学家，他的哲学思想指导了他的数学研究，他的数学研究亦推动了他的哲学思考。
在下篇，哲学学院将会采访从事笛卡尔领域研究的佘碧平老师，分享他对于笛卡尔与数哲之思的感受与解读，敬请期待～
文案丨数学科学学院 丁宇哲
排版丨数学科学学院 王祉祺
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