简介
找到一个连续函数能够近似一系列离散点，，其中，，是一个基础且共性的科学问题。解决这一问题的方法通常是将近似值表示为某些基函数的线性组合，
其中，构成一个线性相互独立的集合，系数是未知常数，确定系数的方式是使与给定数据“良好”拟合。当然，确定“良好”含义的方法有很多，标准通常与误差函数的最小化有关。
一种惯用的方法是强制要求式子 (1) 在离散点上完全满足，也就是，。这种方法称为插值 ()，通常会得到一个线性方程组
其中插值矩阵中的元素被这样给出，，。当且仅当是非奇异矩阵时，该问题的解存在且唯一。
单变量多项式插值法是一种广泛应用的方法。使用阶数为的多项式，可以对个不同数据点的任意数据进行唯一插值 (拉格朗日插值)。然而，用多个变量的多项式进行插值要复杂得多。20世纪50年代，-定理指出，在的情况下，不可能用阶多变量多项式对任意位置的数据进行唯一插值。这从根本上排除了使用多元多项式对分散节点集进行插值（称为分散数据插值）的可能性，而这正是大多数应用所需要的。张量乘积插值可以在多维空间实现，但这需要将节点置于结构化网格上。这种方法严重限制了几何灵活性。
多变量无网格逼近方法，如今被认为是移动最小二乘法（ least , MLS）和径向基函数（ basis , RBF）方法的早期先驱，出现于 20 世纪 60 年代末到 70 年代初的大地测量和地球物理测绘问题中。这些方法的主要特点是加权最小二乘法，无论节点（假定是不同的）如何分散在任意维度上，它们的求解过程都能保证是非奇异的。
加权最小二乘法
请考虑以下近似问题。假设我们得到的数据值为，在一些完全不同的数据位置，是某个光滑函数。我们希望从维总阶数为的多元多项式空间中找到的最佳近似值，该空间由个元素组成。在标准的加权最小二乘法近似中，可以通过求系数
可以最小化泛函来实现。在这种情况下，内积被定义为
这里的权重，，是正的离散参数。这会引出一个范数函数
这里的是可以变化的，是自变量，在变化的时候，如果需要这个范数函数最小，我们得到
这里的是Gram矩阵，可将函数投影到多变量多项式空间上。或者，将的近似值的残差与近似空间的内积正交，也可以得到这个方程组。
用矩阵表示等式 (3)：
矩阵的维数是，，对角矩阵存放的是权重，向量和。由于权重为正，且有多项式基函数在数据点上的唯一可解性，因此Gram矩阵为正定矩阵。因此，系数可以有下面的公式求得
在位置的加权最小二乘法近似值为
这里的向量包含多元多项式空间的基。一般来说，(4) 并不是对数据进行插值，而是代表某种近似值。请注意，如果等于单位矩阵，就可以恢复多项式最小二乘法。
移动最小二乘法
移动最小二乘法可以解释为上述全局方法的局部替代方法。给定数据点，，这里的，，是某个光滑函数，我们希望从多元多项式空间中找出在点的最佳近似值，
关于由内积
导致的范数。和加权最小二乘法不同之处在于，式子 (*) 是对个最靠近模版中心的数据点做累加，其中一般来说，权重值，，是以模板节点为中心的正连续函数在处的值。有数学理论可以证明，当权重函数选择适当时，近似值将是对数据进行的插值操作，这对移动最小二乘法的插值特性具有重要作用。
这种方式会得到泛函
对于由正则方程
确定的系数而言，该泛函最小。这里的矩阵维数跟刚才讨论的加权最小二乘法中的一样，只是这里的并且。权重函数的正性和多项式的唯一可解性保证了是正定的。因此，系数是唯一确定的，移动最小二乘法近似值等于
和加权最小二乘法使用全局模式不同，移动最小二乘法用的是一个局部模式。相比较而言，线性系统 () 和加权最小二乘法中的全局线性系统而言，变小了很多。对于不同的计算位置，线性系统 () 需要重新求解。
权重函数的角色
我们记
为生成函数。这个生成函数能直接决定移动最小二乘法的近似特性。数学理论可以证明，如果生成函数满足基本条件
则点向误差最小。这个条件也叫插值条件。与随点delta函数的接近程度由权重函数控制。只要它们正定 (如径向基函数) 时，移动最小二乘法的问题就是well-posed，并将表示由多项式重现约束强制执行的某种近似 (不一定是对数据的插值)。
权重函数必须在数据位置处具有奇异性 ()，移动最小二乘法近似值才能对数据进行插值。
对于一般的情况1" data--type="-" style="">加权最小二乘法，一种常用的权重函数是
对于，果然，它在数据位置处为无限大，并随着与中心的距离增大而趋于零。对应多项式最小二乘法，但是由于，权重函数并不会在数据点处是无穷大，因此生成函数也不会对数据进行插值。随着增大，
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